Acertijo Prisioneros

1. Planteamiento

Hay 100 prisioneros fura de una habitación están numerados de 1 al 100, es esta habitación nos encontramos con 100 cajas numeradas cada una con una papeleta de un numero aleatorio del 1 al 100 dentro, estas papeletas no se pueden repetir, hay una para cada prisionero una papeleta.

Es decir dentro de esta habitación hay 100 cajas numeradas, en cada una de ellas hay una papeleta, por ejemplo, en la caja 1 encontramos el numero 26, en la caja 64 encontramos el numero 1 y en la caja 37 encontramos el numero 37.

Estos prisioneros deben entrar de uno en uno a la habitación y pueden abrir 50 cajas, si encuentran su numero en una de ellas las cierran todas y salen de la habitación dejando todas las cajas como estaban (si no encuentran su numero todos los prisioneros pierden y vuelven a empezar volviendo a mezclar las papeletas), los prisioneros que salen no pueden comunicarse con los prisioneros que todavía no han entrado, el objetivo es encontrar la forma en que los prisioneros tengan la mayor pasibilidad de salir, encontrando todos su numero. 

2. Resultado

Si cada prisionero pasara por la habitación y abriera 50 cajas aleatorias su posibilidad de salir es del 50% pues abre la mitad de las cajas y en total la posibilidad que consigan pasar los 100 prisioneros es de 1/2 · 1/2 · 1/2... 100 veces, es decir, (1/2)^100 que equivale a 7,88·10^-31 o 0,00000000000000000000000000000788%.

Con una simple estrategia podemos incrementar la probabilidad de que todos los prisioneros encuentren su numero hasta el 31%.

Para que la probabilidad suba cada prisionero debe empezar a buscar por la caja de su numero, después ira a la caja de numero de la papeleta encontrada, si entra el prisionero numero 1 primero abrirá la caja número 1, dentro de esta suponemos que encuentra el numero 93, pues entonces irá a la caja 93 y mirará dentro, así sucesivamente hasta encontrar su numero, aveces en menos de 50 intentos y aveces en más.

3. Explicación

La cuestión es que con la nueva estrategia la probabilidad del éxito no se mide por persona, sino en grupo, es importante tener en cuenta que la probabilidad individual sigue siendo del 50%.

El secreto esta en comprender que al mezclar las papeletas se forman loops de distintos tamaños (las cajas se encadenan, la 1 señala a la 46 esta a la 87 esta a la 32...), y si empiezas por tu caja sabes que estas en el loop en el que esta tu papeleta puesto que para completar el loop debe estar tu papeleta señalando a la caja por la que has comenzado. Al empezar por tu caja sabes que tu papeleta esta al final del loop en el que estás, esto significa que la cuestión de pasar o no esta determinada por el tamaño del loop, si el loop es mayor de 50 pierdes pero si es menor encontraras tu papeleta antes de agotar los intentos.

Esto quiere decir que si tu loop es de 28 cajas los 27 numeros restantes del loop tambien encontraran su papeleta, por lo tanto la probabilidad de pasar exitosamente depende en si hay o no hay un loop de mas de 50 cajas.

Para calcular esa probabilidad primero tenemos que ver cuantos loops diferentes existen, esto se calcula de la siguiente manera; en la primera caja puede entrar un número de los 100 que hay, en la segunda pueden entrar 99 (todas excepto la que esta en la primera), en la tercera 98 y así hasta la ultima donde solo puede entrar la que queda. En matemáticas esto se representa haciendo 100·99·98·97·96... 1 que es lo mismo que 100!.

Sin embargo algunos de estos loops son los mismos, si tenemos uno que sea 1,2,3,4,5...100 otro igual seria 2,3,4,5,6,7...99, estos son los mismos solo que uno parte desde un numero distinto. Por lo tanto hay 100 variantes por cada loop, entonces de las 100! posibilidades que hay existen solo 100!/100 únicas. 

Para calcular cual es la probabilidad de que se forme un loop de 100 es dividir todas la variaciones posible (100!/100) por la cantidad total de formas en las que pones las 100 papeletas en las 100 cajas (100!);

(100!/100)/100! = 1/100 = 1%

Concluimos que la probabilidad de que se forme un loop de 100 es de un 1% el mismo procedimiento lo podemos aplicar con un loop de 99, 98, 97...

Loop de 99 = 1/99 = 1,011111%

Loop de 98 = 1/98 = 1,020408%

Loop de 97 = 1/97 = 1,030927%

Vemos que el porcentaje va incrementando hasta llegar a un máximo, este máximo es 50, la probabilidad de que se forme un loop menor de 50 decrece de forma bastante rápida;

Loop de 50 = 1/50 = 2%

Si en una tabla vamos colocando todas las probabilidades de cada loop, como en la imagen, observamos que la probabilidad que se forme un loop mayor de 50 es de la suma de las posibilidades de todos los loops mayores de 50, esta suma da 69%, por lo tanto la probabilidad de que no se forme un loop mayor de 50 es de 31%.

Para entenderlo mejor es clave ver que en esta estrategia o ganan todos o pierden muchos, no hay punto intermedio. Si se forma un loop mayor de 50 no van a encontrar su numero mas de 50 personas, se pierde "grupalmente". Esto se puede representar en otra gráfica,  si se entra sin estrategia mas o menos el 50% de los prisioneros encontrarán su numero, en cambio con la estrategia o lo encuentran TODOS el 31% de las veces o no lo encuentran mas de 50 el 69% de las veces, no pueden encontrarlo 70 y haber 30 los cuales no lo hayan conseguido. En la imagen de abajo se aprecian ambas estrategias, en color verde si se escogen cajas al azar y en azul si se sigue la estrategia.

Este es un acertijo bastante conocido en las redes, nosotros nos informamos desde el siguiente video, en el cual explican este fenómeno de una forma muy intuitiva, recomendamos echarle un vistazo: Acertijo Prisioneros - Veritasium

También os adjuntamos una imagen del resumen de las matemáticas aplicadas para resolver el problema: