Acertijo Prisioneros
Acertijo Prisioneros
1. Planteamiento
Hay 100 prisioneros fuera de una habitación y todos están numerados del 1 al 100. En esta habitación, nos encontramos con 100 cajas, cada una numerada tanto en el interior de la caja, como en el exterior de la caja. En el exterior, las cajas están numeradas en orden del 1 al 100, pero en su interior, las cajas están numeradas con un número aleatorio del 1 al 100. Estas papeletas no se pueden repetir, hay una papeleta para cada prisionero. Es decir, dentro de esta habitación hay 100 cajas numeradas, en el interior de cada una de ellas, hay una papeleta, por ejemplo, en la caja 1 encontramos el número 26, en la caja 64 encontramos el número 1 y en la caja 37 encontramos el número 37. Estos prisioneros deben entrar de uno en uno a la habitación y cada uno de ellos puede abrir 50 cajas, si encuentran su número en una de ellas, cierran todas las cajas que hayan abierto y salen de la habitación dejando todas las cajas como estaban (si no encuentran su número todos los prisioneros pierden y vuelven a empezar volviendo a mezclar las papeletas). Los prisioneros que salen no pueden comunicarse con los prisioneros que todavía no han entrado, el objetivo es encontrar la forma en la cual los prisioneros tengan la mayor posibilidad de salir, encontrando todos su número.2. Resultado
Si cada prisionero pasara por la habitación y abriera 50 cajas aleatorias su posibilidad de salir es del 50% pues abre la mitad de las cajas y en total la posibilidad que consigan pasar los 100 prisioneros es de 1/2 · 1/2 · 1/2... 100 veces, es decir, (1/2)^100 que equivale a 7,88·10^-31 o 0,00000000000000000000000000000788%.
Con una simple estrategia podemos incrementar la probabilidad de que todos los prisioneros encuentren su número hasta el 31%.
Para que la probabilidad suba, cada prisionero debe empezar a buscar por la caja de su número. Después irá a la caja del número de la papeleta encontrada (si entra el prisionero número 1, primero abrirá la caja número 1. Dentro de esta suponemos que se encuentra el número 93, pues entonces irá a la caja 93 y mirará dentro, así sucesivamente hasta encontrar su número). A veces en menos de 50 intentos y a veces en más.
3. Explicación
La cuestión es que con la nueva estrategia la probabilidad de éxito no se mide por persona, sino por grupo. Es importante tener en cuenta que la probabilidad individual sigue siendo del 50%.
El secreto esta en comprender que al mezclar las papeletas se forman loops de distintos tamaños (las cajas se encadenan, la 1 señala a la 46, esta a la 87, esta a la 32...), y al empezar por tu caja sabes que estas en el loop en el que esta tu papeleta puesto que para completar el loop, tu papeleta debe estar señalando a la caja por la que has comenzado, es decir, al empezar por tu caja sabes que tu papeleta está al final del loop en el que te encuentras. Esto significa que la cuestión de pasar o no está determinada por el tamaño del loop, si el loop es mayor de 50 pierdes, pero si es menor encontrarás tu papeleta antes de agotar los intentos.
Esto quiere decir que si tu loop es de 28 cajas, los 27 números restantes del loop también encontrarán su papeleta. Por lo tanto, la probabilidad de pasar exitosamente, depende de si hay o no hay un loop de más de 50 cajas.
Para calcular esa probabilidad, primero tenemos que ver cuantos loops diferentes existen, esto se calcula de la siguiente manera: en la primera caja puede entrar un número de los 100 que hay, en la segunda pueden entrar 99 (todas excepto la que está en la primera), en la tercera 98 y así hasta la última caja, donde solo puede entrar el número que queda. En matemáticas esto se representa haciendo 100·99·98·97·96... 1 que es lo mismo que 100!.
Sin embargo, algunos de estos loops son los mismos, si tenemos uno que sea 1,2,3,4,5...100, otro igual seria 2,3,4,5,6,7...99. Estos son los mismos loops, solo que uno parte desde un número distinto. Por lo tanto hay 100 variantes por cada loop. Entonces de las 100! posibilidades que hay existen solo 100!/100 únicas.
Para calcular cuál es la probabilidad de que se forme un loop de 100, tendremos que dividir todas la variaciones posible (100!/100) por la cantidad total de formas en las que pones las 100 papeletas en las 100 cajas (100!);
(100!/100)/100! = 1/100 = 1%
Concluimos que la probabilidad de que se forme un loop de 100 es de un 1%. El mismo procedimiento lo podemos aplicar con un loop de 99, 98, 97...
Loop de 99 = 1/99 = 1,011111%
Loop de 98 = 1/98 = 1,020408%
Loop de 97 = 1/97 = 1,030927%
Vemos que el porcentaje va incrementando hasta llegar a un máximo, este máximo es 50, la probabilidad de que se forme un loop menor de 50 decrece de forma bastante rápida;
Loop de 50 = 1/50 = 2%
Para entenderlo mejor, es clave ver que en esta estrategia o ganan todos o pierden todos, no hay un punto intermedio. Si se forma un loop mayor de 50 no van a encontrar su numero más de 50 personas, por lo que se pierde "grupalmente". Esto se puede representar en otra gráfica. Si se entra sin estrategia, aproximadamente el 50% de los prisioneros encontrarán su número. En cambio, con la estrategia o lo encuentran TODOS (el 31% de las veces) o no lo encuentran más de 50 (el 69% de las veces). No pueden encontrarlo 70 prisioneros y haber 30 que no lo hayan conseguido. En la imagen de abajo se aprecian ambas estrategias, en color verde si se escogen cajas al azar y en azul si se sigue la estrategia.
Este es un acertijo bastante conocido en las redes, nosotros nos informamos desde el siguiente video, en el cual explican este fenómeno de una forma muy intuitiva, recomendamos echarle un vistazo: Acertijo Prisioneros - Veritasium
También os adjuntamos una imagen del resumen de las matemáticas aplicadas para resolver el problema:
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